Родился в 1988 году. После окончания средней школы Леонид поступил в Российскую академию театрального искусства (мастерская Голомазова). В 2010 году он окончил учебу и сразу же был принят в театральную труппу Театра на Малой Бронной.

Наиболее популярными работами Тележинского были роли в спектаклях «БЕСЫ. Сцены из жизни Николая Ставрогина», «Принц Каспиан», «Киномания. Band». Также он играл и в других театральных постановках: «Славянские безумства», «Ревизор», «Наш человек в Гаване», «Тайна старого шкафа», «Плутни Скапена», «Хроники доктора Прентиса».

Талант начинающего актера привлек внимание и кинорежиссеров. В 2009 году Леонида Тележинского пригласили на эпизодическую роль в популярный молодежный сериал «Барвиха». 20 серий этого проекта рассказывают о взаимоотношениях детей с Рублевки с обычными городскими детьми. В этом же году Леониду Тележинскому досталась еще одна эпизодическая роль в комедийной мелодраме «Любовь. Ру».

В 2011 году Тележинскому предложили сняться в фильме «Золотые», который состоял из 15 серий и являлся продолжением знаменитого сериала «Барвиха». Здесь уже показывается жизнь выпускников элитной школы, которым теперь дозволено многое. Хотя они еще школьники, им приходится ежедневно решать взрослые проблемы. Здесь есть все: любовь, секс, зависть и дружба.

Огромную популярность Леонид Тележинский получил благодаря фильму «Физика или химия» режиссера Рамиля Сабитова. Он был выпущен в 2011 году и состоит из 20 серий, в которых Тележинский играл одного из главных героев - Николая Кабанова, друга Игоря. Эта картина является российской адаптацией одноименного испанского сериала. Молодежная мелодрама рассказывает о том, что закончились каникулы, и в новом учебном году появляются не только новые предметы и учителя, но и новые горизонты и отношения. Фильм получил огромную популярность и среди взрослых, ведь он без какой-либо пошлости рассказывает всю правду о том, чем дети занимаются в школе.

Несмотря на столь незначительную актерскую карьеру, Леониду Тележинскому уже приходилось делить съемочную площадку со многими знаменитыми актерами.