Один из наиболее популярных актёров Советского Союза, Андрей Мягков ворвался в мир кино в 1965 году с ролью дантиста Чеснокова в комедии «Похождения зубного врача». Прославило же его многолетнее сотрудничество с режиссёром Эльдаром Рязановым, вылившееся в картины «Ирония судьбы, или С лёгким паром!», «Служебный роман», «Гараж» и «Жестокий романс».

Киноведами Мягков считается по большей части комедийным актёром, но в его активе имеются и крупные драматические роли, такие как учёный-карьерист Швырков в драме Марлена Хуциева «Послесловие». Интересные роли Мягков сыграл в картинах "Летаргия" Валерия Лонского и "Страх высоты".

С 1987 года служит в МХТ имени А. П. Чехова. Обладатель множества наград и премий.

Андрей Мягков родился в Ленинграде. Отец — Василий Дмитриевич Мягков (1908—1978) — заместитель директора Ленинградского полиграфического техникума по учебно-воспитательной работе, к. т. н., педагог и организатор учебного процесса, работал в техникуме с 1935 по 1954 год, в 1954 году перешёл в Технологический институт доцентом. Мать — Зинаида Александровна Мягкова (1913—1989) — инженер-механик, работала в Ленинградском полиграфическом техникуме с 1946 по 1968 год.

По настоянию отца окончил Ленинградский химико-технологический институт (ныне — Санкт-Петербургский государственный технологический институт), недолгое время работал в Институте пластических масс. На любительском спектакле «Лесная песня» был замечен одним из педагогов Школы-студии МХАТ, который предложил ему попробовать силы у них. В 1965 году успешно выпустился (курс В. П. Маркова) и стал тогда же актёром театра «Современник».

Одной из первых театральных ролей стала роль Дядюшки в постановке «Дядюшкин сон». На сцене театра Мягковым также сыграны роли в спектаклях «На дне», «Балалайкин и К», «Обыкновенная история», «Большевики» и многих других.

В 1973 году режиссёр Алексей Коренев отказал актеру сыграть Нестора Петровича в комедийном телефильме «Большая перемена» из-за того, что Мягков А.В. поставил режиссёру условие — учителя Светлану Афанасьевну должна играть его жена. В 1977 году перешёл во МХАТ; после раскола театра в 1987 году остался с Олегом Ефремовым — в театре, получившем название Московский Художественный театр имени А. П. Чехова.

Преподавал в Школе-студии МХАТ. Приглашался в жюри Высшей лиги КВН.

В последнее время практически не снимается в кино, объясняя это так: «Мы так бесстыдно подражаем американцам! Боевики, драки, бесконечный экшен. Кино стало бесчувственное, бессердечное. Это не русское искусство. Его мы забросили совершенно. У советского кино было своё лицо, а сейчас его взяли, повернули затылком и нарисовали на нем американскую физиономию»

Супруга с 1963 года — актриса Анастасия Вознесенская.

Автор трёх детективных романов, написал которые, по его признанию, «лишь потому, что жене не хватает интересной литературы».

Увлекается портретной живописью. Для друга и учителя Олега Ефремова написал картину «Портрет Олега Ефремова». Ведёт уединённый образ жизни, практически не давая интервью.