Она начала танцевать еще в раннем детстве, и, окончив школу, переехала в Париж, где поступила в Национальную танцевальную консерваторию музыки и танца. Благодаря своему драматическому таланту, Тран смогла попробовать себя в качестве театральной актрисы, а затем была замечена кинопродюсерами.
Актриса участвовала в создании модели сумки для модного дома Lancel.
Клер свободно говорит на французском и английском языках.
Тран дебютировала в кино в 2010 году. В 2013 году она снялась в драматической картине Клер Дени «Славные ублюдки», представленной на Международном кинофестивале в Каннах. Годом позже актриса сыграла в немецко-швейцарском фильме «Зильс-Мария», где ее партнерами по съемочной площадке выступили Хлоя Грейс Морец, Кристен Стюарт, Жюльет Бинош и дрю
В 2017 году на экраны вышел фантастический приключенческий фильм «Валериан и город тысячи планет» режиссера Люка Бессона, в котором Клер исполнила второстепенную роль. В 2018 году она вновь работала с Клер Дени, на сей раз над драмой «Высшее общество».