Родился 31 марта 1938 года в Москве. Отец — Виктор Алексеевич Збруев, начальник Главного стройуправления Наркомсвязи, заместитель наркома связи СССР, мать — Татьяна Александровна Фёдорова, происходила из дворянской семьи, получила актёрское образование, работала на кинофабрике им. Чайковского.

В ноябре 1937 года отец был арестован, в мае 1938 года расстрелян, а мать с грудным Александром была выслана под Рыбинск. В свою квартиру на Арбате, которая к тому времени стала коммунальной, мать и сын вернулись в 1943 году, в комнату, в которой остался проживать сын Фёдоровой-Збруевой от первого брака — Евгений. В школе Александр Збруев учился не слишком хорошо, дважды оставался на второй год, занимался боксом, дошёл до 1-го юношеского разряда по гимнастике, был хулиганистым парнем, носил прозвище «Интеллигент».

В 1958 году окончил школу и по совету подруги матери, Надежды Михайловны Вахтанговой, вдовы Е. Б. Вахтангова поступил в театральное училище имени Щукина, на курс Владимира Этуша. После окончания училища в 1961 году Збруева приняли в труппу театра им. Ленинского комсомола, где он с успехом играл в спектаклях, поставленных Анатолием Эфросом и Марком Захаровым.

В кино актёр дебютировал в фильме Александра Зархи «Мой младший брат», в котором он создал образ своего современника Димки. Лента вышла на экраны страны в 1962 году и стала первым успехом для исполнителей главных ролей — Александра Збруева, Андрея Миронова, Олега Даля.

В 1995—2005 годах параллельно с актёрской деятельностью Збруев занимался бизнесом, открыв с компаньоном в подвале «Ленкома» ресторан «ТРАМ» (Театральный ресторан актёров Москвы).

С 2000 по 2004 год набрал и вёл актёрскую мастерскую в РАТИ, являясь руководителем курса. Этот выпуск оказался единственным, так как от дальнейшей преподавательской деятельности в РАТИ он отказался.

В том же 2004 году исполнил последнюю крупную роль в кино и ушёл в десятилетний творческий отпуск, периодически появляясь в камео-образах.

Старший брат — Евгений Фёдоров, окончил Щукинское училище, актёр театра имени Вахтангова, заслуженный артист РСФСР.
Первая жена — актриса Валентина Малявина.
Вторая жена — актриса Людмила Савельева.
Дочь (от Людмилы Савельевой) — Наталья.
Дочь (от Елены Шаниной) — Татьяна.
Внучатый племянник — Пётр Федоров.